1.7 小结
为应对数学基础危机，并试图重建一个稳固可靠的数学体系，数学家们形成了三大思想流派，各自从不同路径尝试解决数学基础问题。
罗素在弗雷格逻辑思想的基础上，结合皮亚诺创立的符号体系，试图从少量逻辑公理出发重建数学。这种将数学视为逻辑延伸的思想，被称为“逻辑主义”。他与怀特海德合著的《数学原理》（Principia Mathematica）是这一流派最具代表性的成果，该著作可以看作是对莱布尼茨提出的逻辑演算和普遍符号语言的一种实现尝试。然而，为了避免罗素悖论带来的矛盾，这套体系不得不引入复杂的类型论等限制性规则。虽然它成功推动了数理逻辑的发展，却未能彻底实现“将全部数学归约为逻辑”的目标。
在布劳威尔看来，数学对象并非独立于人类而客观存在。以自然数为例，我们并不是“发现”了一个已经存在的无限数列，而是在心智中不断执行“再加一”的构造过程。类似地，圆周率的小数展开也不是一个已经完整存在的无限对象，而是一个可以被不断计算和生成的过程。因此，直觉主义强调“能够构造出来”比“能够证明存在”更重要。
直觉主义的观点限制了许多经典数学方法，例如依赖反证法的存在性证明或对完整无限集合的使用，引发了与古典数学的冲突。希尔伯特对此强烈反对，他提出了形式主义方案，通过建立公理化体系和一致性原则，试图既保留古典数学的成果，又为数学提供坚实可靠的基础。
希尔伯特的形式主义将数学视为一套按照规则运作的符号系统，不必追问数学对象是否真实存在，只要能够证明公理体系内部不存在矛盾，数学便是可靠的。20世纪 20 年代，希尔伯特进一步提出了一个雄心勃勃的目标：希尔伯特计划（Hilbert Program），将数学完全形式化，把证明变成符号操作，最终证明整个数学体系不会产生矛盾。如果成功，那么第三次数学危机就彻底解决了。
希尔伯特计划（Hilbert Program）
用有限、可靠的方法证明整个数学体系是一致的（无矛盾的）
就在希尔伯特雄心壮志地向全世界宣布“我们必须知道，我们必将知道”之时，一个叫哥德尔的无名后辈横空而出，证明了“任何包含初等算术的形式系统，既不可能完备（总有命题无法在系统内被证明或证伪），也无法仅依靠自身证明一致性”。随后，邱奇和图灵进一步证明，希尔伯特提出的“判定性问题”（Entscheidungsproblem）不存在通用解法，即不存在一种机械方法能够判断所有数学命题的真假。至此，希尔伯特试图为全部数学建立绝对可靠基础的计划宣告失败。
数学基础危机虽然并未得到彻底解决。邱奇、图灵等人的工作表明，数学推理虽然无法被完全机械化，但符号操作本身却能够被严格地形式化和机械化。这些对形式化系统的研究，实际开辟了一条开辟了一条新的研究道路。
可计算理论改变了人们对“计算”和“算法”的理解，也为后来计算机科学的诞生奠定了理论基础。这部分内容，笔者将在下一章详细讲述。