1.1 从计算到推理的转变

数学作为一门独立的理性学科来说，在公元前 600 到前 300 年之间的古典希腊学者登场之前是不存在的。但人们并没有等到那一天才开始和数打交道——数学最初其实就是“算学”。

“数学”活动最古老的痕迹之一，出自美索不达米亚的一块泥板，年代约在公元前 2500 年。板上记着这样一笔计算：谷仓里有 1 152 000 份粮食，每人分 7 份，一共能分给多少人？很显然，是 164 571，拿 1 152 000 去除以 7 就行。

看来，美索不达米亚的会计师早在算术被当作一门学问之前，就会做除法了。那么，公元前 6 世纪的希腊发生了什么事情，唯独让让这个时刻成为数学的开端？

数学的诞生

古希腊地处地中海东部，向东连接美索不达米亚，向南隔海与埃及相望。山脉、岛屿和海洋将人们分散在不同地区，逐渐形成雅典、斯巴达、科林斯等众多彼此独立的城邦。城邦之间相互竞争，又频繁交流，不同的政治制度、思想和生活方式在这里不断碰撞，逐渐孕育出重视理性、论证和思辨的传统。

大约公元前 570 年，毕达哥拉斯就出生在爱琴海东部的萨摩斯岛（Samos）。

一个集古希腊、古埃及、古巴比伦甚至古印度文化的大成者，终于回到故乡萨摩斯。此后，他开始传经布道，广收弟子，建立了影响世界数千年的“毕达哥拉斯学派”。

创办了一个研究哲学、数学和自然科学的团体，后来便发展成为一个有秘密仪式和严格戒律的宗教性学派组织

毕达哥拉斯学派是一个类似宗教团体，“哲学（philosophy）”和“数学（mathematics）”这两个词可能是毕达哥拉斯创造的。“哲学”希腊语为Φιλοσοφία，意指“爱，智慧”；“数学”希腊语μθημα，意指“可以学到的知识”。

图 《毕达哥拉斯信徒向初升太阳致敬》早期的毕达哥拉斯学派类似于宗教团体，其信奉的哲学与科学基础不容侵犯

学派研究涉及哲学、学术、宗教等各个领域。尤其数学，学派把属于会计师和调查员们的应用技术，逐渐转化为研究数、形以及世界秩序的一门纯粹的科学。

毕达哥拉斯学派十分重视数与几何图形之间的关系。他们用点排列成三角形、正方形等不同形状，并从中研究数的规律。这种做法把原本抽象的“数”与直观的“形”联系在了一起。

在形的研究上，古希腊人进入推理的领域，而脱离了对“量”的计算。通过推理这一工具，毕达哥拉斯学派发现了可能是数学史上最著名也最重要的定理：直角三角形的斜边平方为两直角边平方之和。

也就是勾股定理（公元前11世纪，商高见周公时提及“勾三股四弦五”，故我们称之为“勾股定理”，它是人类第一次将数与形结合在一起的重大发现）。

值得注意的是，毕达哥拉斯学派并没有留下可考的书面著作。现存文献中，勾股定理最早的严格证明见于欧几里得的《几何原本》^[1]。毕达哥拉斯千年之后，学者普罗克洛斯（Proclus，410—485）为《几何原本》作注时，将定理证明归功于毕达哥拉斯。此后，这一定理便逐渐以他的名字流传下来，被称为“毕达哥拉斯定理”。

毕达哥拉斯定理以及其他几何定理的出现，是古希腊人的辉煌数学成就。古希腊人了不起的地方，不在于他们得出毕达哥拉斯定理这样的结论，类似的结论古巴比伦、古代中国人也得出了。他们了不起的地方在于使用的方法，即证明过程本身，这是一种从更基本的原理出发，演绎推理出结论的“推理方法”

从有限到无穷

如前所述，学派信奉“万物皆数”，认为一切和谐皆可用整数及其比例表达。然而在研究勾股定理时，他们发现：某些直角三角形的边长之比无法写成整数之比。这一发现直接冲击学派的信仰，引发了数学史上的第一次危机。

具体由哪位学生最先发现，已无从确考，传说指向希帕索斯（Hippasus）。据说他试图找出一个等腰直角三角形，使三条边长都是自然数。因两直角边相等，可记其长为 $x$，斜边为 $y$。由毕达哥拉斯定理得 $x^2+x^2=y^2$，于是希帕索斯的问题转化为：是否存在自然数 $x$、$y$，使得 $2\times x^2=y^2$？我们不妨先在 4 以内试一试（见表）。

表 4 以内 $x$ 与 $y$ 的可能性（笔者省略了部分，不然表格太长）

$x$	$y$	$2\times x^2$	$y^2$
1	1	2	1
1	2	2	4
…	…	…	…
2	3	8	9
…	…	…	…
4	3	32	9
4	4	32	16

在上表所有的情况里， $2\times x^2$ 都不等于 $y^2$。我们还可以在更大的数字范围内寻找，笔者相信毕达哥拉斯学派肯定找了很久，但没有找到解。后来，他们终于相信这个解不存在。

他们又是如何确信解不存在的呢？显然不可能靠遍历全部数对，因为这样的组合无穷无尽，即便搜遍 1,000、10,000，乃至 100 万，也不过是无穷中的有限一隅。

让我们来重新构建一个新的思路，也许毕达哥拉斯学派就是由此得出结论。

从算术到演绎推理

我们先假定有解，看它会不会自相矛盾。传说中，希帕索斯正是用反证法证明了 $\sqrt{2}$ 不是有理数。大致过程如下：

用反证法推理出矛盾的结论

假设 $\sqrt{2}$ 是有理数，则存在互质自然数 $p$ 和 $q$，使得：

$$\sqrt{2} = \frac{p}{q}.$$

两边平方：

$$2 = \frac{p^2}{q^2} \quad \Rightarrow \quad p^2 = 2 q^2.$$

由于只有偶数的平方是偶数，因此 $p$ 必为偶数，设 $p = 2s$，代入上式：

$$p^2 = 4s^2 = 2 q^2 \quad \Rightarrow \quad q^2 = 2 s^2.$$

所以 $q$ 也为偶数。

由于 $p$ 和 $q$ 皆为偶数，不互质。与前述互质的假设矛盾，因此原假设错误，$\sqrt{2}$ 不是有理数。

上述方法是数学史上反证法最著名的应用之一，其意义不可小觑。

对照更早的美索不达米亚泥板便可看得更清楚：那些计算多半服务于粮食份数、土地丈量之类具体事务，数字始终黏着于物。而希帕索斯所问的，已不是某堆谷物能否均分，而是 $\sqrt{2}$ 本身能否写成整数之比——问题指向数学自身的性质。从具体的物，到独立的数，再迈向抽象：抽象的数字对象开始与自然中的实际物体分离。这场分离，使数学得以超越作为算术工具的局限，借助纯粹逻辑推理研究自身的结构，并在实践之外获得自我演进的动力。

几个世纪之后，不可通约量（无理数）的发现，启发数学家们构造了更完整的实数数系。但毕达哥拉斯学派远未走到那一步，他们还没有准备好放弃自然数这个基本观念。对他们而言，这个发现更像一场灾难，而非前进的动力。据传，希帕索斯因公开这一结论，被扔进地中海淹死；学派声称，这是触怒他们所信奉的“自然数之神”而受的惩罚。

图 《希帕索斯的雕版画》 可怜的希帕索斯，或许是历史上第一位为真理献身的人！

可以想见，$\sqrt{2}$ 之后，必然会有$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$、$\sqrt{6}$ 越来越多的无理数被发现。为了逃避这场危机，古希腊人从偏重算术逐渐转向偏重几何研究。

在算术里，像 $\sqrt{2}$ 这样的数无法用整数比表示，但在几何中，它却可以被理解为正方形对角线与边长之间的关系。借助几何对象之间的逻辑关系，古希腊人得以通过演绎推理，对这些“不可通约”的量进行解释与处理。从这个转变来看，古希腊数学逐渐从偏重实用“算术”走向更加抽象的理论研究。研究对象和方法的变化，引发了数学史上一次巨大的革命：欧几里得的编著旷世奇书《几何原本》，开创了“公理—演绎系统”；阿基米德则运用无穷小概念和穷尽法推导并证明了一系列几何定理，为现代微积分和分析奠定了启蒙基础。就连柏拉图和亚里士多德，也深受几何思想影响，经常借助几何学阐释哲学理论。

至于无理数，虽然少数数学家尝试为它建立理论基础，但发展缓慢。直到 19 世纪下半叶，德国数学家理查德·戴德金（Richard Dedekind）提出“戴德金分割法”（Dedekind cut），从有理数出发构造出完整的实数体系，人们才逐渐接受无理数作为一种特殊数字。持续了 2000 多年的第一次数学危机就此落下帷幕！

---

1. 见《几何原本》第一册的第 47 个命题。 ↩︎

Star 关注